A3: Generate state $\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0} + \ket{3})$

解説

生成したい状態は 2つの計算基底状態 $\ket{0}$ と $\ket{3}$ の一様重ね合わせ状態です。

はじめに、1つ目の量子ビットにアダマールゲートを作用させます。

ここで、生成したい状態は $\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{00} + \ket{11})$ なので、$(1)$ 式の計算基底状態 $\ket{10}$ を $\ket{11}$ に遷移させることができればよいです。

制御ゲート を使うことで、重ね合わせ状態のうちの作用させたい計算基底状態のみに量子ゲートを作用させることができます。

制御ゲートとは、2つの量子ビットに作用する量子ゲートで、作用する2つの量子ビットのうち、1つを「制御ビット」、もう一方を「対象ビット」と呼びます。制御ゲートでは、制御ビットが $\ket{0}$ でなく $\ket{1}$ の計算基底状態にのみ、対象ビットに対して、制御されたゲートが作用します。

今回の問題では、1ビット目を制御ビットとし、2ビット目を対象ビットとする 制御 $X$ (controlled-X; $CX$) ゲートを作用させることで、1ビット目が $\ket{1}$ である計算基底状態 $\ket{10}$ にのみ $X$ ゲートを作用させ、ビットを反転させることができます。

解答例

解答例は以下の通りです。

from qiskit import QuantumCircuit
 
 
def solve() -> QuantumCircuit:
    qc = QuantumCircuit(2)
 
    qc.h(0)
    # qc.cx(control qubit, target qubit)
    qc.cx(0, 1)
 
    return qc

補足

• 本問の状態 $\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{00} + \ket{11})$ では、片方の量子ビットを測定し、状態を観測すると、もう一方の量子ビットの状態が確定します。このような現象を量子もつれ (entanglement) と呼ぶことがあります。
• 複数の制御ビットをもつような量子ゲート（複数の制御ビットがすべて $\ket{1}$ の状態の対象ビットのみに作用する）を実装することもできます。