QCoder

解説

はじめに、ゼロ状態 $\ket{0000...0}$ の1ビット目に $X$ ゲートを作用させます。

\begin{equation} \ket{0000...0} \xrightarrow{X(0)} \ket{1000...0} \end{equation}

次に、この量子状態 $\ket{1000...0}$ に対して、制御 $R_y$ ゲートを作用させ、 $\ket{1000...0}$ と $\ket{1100...0}$ の重ね合わせ状態を生成します。 $\ket{1000...0}$ の振幅を完成形の振幅 $1/\sqrt{n}$ にすることを考えると、回転角 $\theta_1$ は以下の連立方程式を解くことで求めることができます。

\begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} & \cos\left(\frac{\theta_1}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{n}} \\ & \sin\left(\frac{\theta_1}{2}\right) = \sqrt{\frac{n-1}{n}} \end{aligned} \right. \end{equation}

この方程式を解くと、 $0 \leq \theta_1 \leq 2\pi$ の範囲で次の解が得られます。

\begin{equation} \theta_1 = 2 \arctan{(\sqrt{n-1})} \end{equation}

よって、量子状態 $\ket{1000...0}$ に対して1ビット目を制御ビット、2ビット目を標的ビットとした回転角 $\theta_1$ の制御 $R_y$ ゲートを作用させます。

\begin{equation} \ket{1000...0} \xrightarrow{CRy(\theta_1,0,1)} \frac{1}{\sqrt{n}} \ket{1000...0} + \sqrt{\frac{n-1}{n}} \ket{1100...0} \end{equation}

そして、2ビット目を制御ビット、1ビット目を標的ビットとして制御 $X$ ゲートを作用させます。

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{n}} \ket{1000...0} + \sqrt{\frac{n-1}{n}} \ket{1100...0} \xrightarrow{CX(1,0)} \frac{1}{\sqrt{n}} \ket{1000...0} + \sqrt{\frac{n-1}{n}} \ket{0100...0} \end{equation}

このような操作（制御 $R_y$ ゲートと制御 $X$ ゲートを順に作用させること）を計 $n$ 回繰り返すことで、この問題を解くことができます。

\begin{align} \ket{0000...0} &\xrightarrow{X(0)} \ket{1000...0} \nonumber \\ &\xrightarrow{CRy(\theta_1, 0, 1)} \frac{1}{\sqrt{n}} \ket{1000...0} + \sqrt{\frac{n-1}{n}} \ket{1100...0} \nonumber\\ &\xrightarrow{CX(1, 0)} \frac{1}{\sqrt{n}} \ket{1000...0} + \sqrt{\frac{n-1}{n}} \ket{0100...0} \nonumber\\ &\xrightarrow{CRy(\theta_2, 1, 2)} \frac{1}{\sqrt{n}} (\ket{1000...0} + \ket{0100...0}) + \sqrt{\frac{n-2}{n-1}} \ket{0110...0} \nonumber\\ &\xrightarrow{CX(2, 1)} \frac{1}{\sqrt{n}} (\ket{1000...0} + \ket{0100...0}) + \sqrt{\frac{n-2}{n-1}} \ket{0010...0} \nonumber\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \nonumber\\ &\xrightarrow{CX(n, n-1)} \frac{1}{\sqrt{n}} (\ket{1000...0} + \ket{0100...0} + \cdots + \ket{0000...1}) \end{align}

解答例

解答例は以下の通りです。

import math
 
from qiskit import QuantumCircuit
 
 
def solve(n: int) -> QuantumCircuit:
    qc = QuantumCircuit(n)
 
    theta = [2 * math.atan(math.sqrt(i)) for i in range(n - 1, 0, -1)]
 
    qc.x(0)
 
    for i in range(n - 1):
        qc.cry(theta[i], i, i + 1)
        qc.cx(i + 1, i)
 
    return qc

A4: Generate One-hot Superposition State I

解説

解答例