A3: Generate State $\frac{1}{\sqrt{2}}\lparen\ket{0}-\ket{2^{n}-1}\rparen$ I

解説

問題 A2 での解き方を参考に解いていくと方針が立ちやすいので、その下で考えていきましょう。

まず、位相を考慮せずに量子状態 $\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0...0} + \ket{1...1})$を生成することを考えます。 はじめに、1番目の量子ビットに対して アダマールゲートを作用させます。

次に、 $\ket{1000 \cdots 0}$ を $\ket{1100 \cdots 0}$ に変化させる必要があります。そこで、1番目の量子ビットを制御ビットとし、2番目の量子ビットを標的ビットとする 制御 $X$ ゲートを利用します。 制御 $X$ ゲートによって、1番目の量子ビットが $\ket{1}$ となる $\ket{1000 \cdots 0}$ に対してのみ、2番目の量子ビットに $X$ ゲートを作用させます。

同様にして、$\ket{1100 \cdots 0}$ を $\ket{1110 \cdots 0}$ に変化させるために、1番目の量子ビットを制御ビットとし、3番目の量子ビットを標的ビットとする 制御 $X$ ゲートを作用させます。

あとは、$n$番目 の量子ビットが標的ビットになるまで制御 $X$ ゲートを繰り返し作用させることで、量子状態 $\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{00 \cdots 00} + \ket{11 \cdots 11})$を生成できます。

最後に $Z$ ゲートを作用させることで $\ket{11 \cdots 11}$ の位相を反転させます。

以上の操作をまとめると、以下のような回路が得られます。

解答例

解答例は以下の通りです。

from qiskit import QuantumCircuit
 
 
def solve(n: int) -> QuantumCircuit:
    qc = QuantumCircuit(n)
 
    qc.h(0)
 
    for i in range(1, n):
        qc.cx(0, i)
 
    qc.z(0)
 
    return qc