QCoder

解説

問題 A2 での解き方を参考に解いていくと方針が立ちやすいので、その下で考えていきましょう。

まず、位相を考慮せずに量子状態 $\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0...0} + \ket{1...1})$ を生成することを考えます。はじめに、 $1$ 番目の量子ビットに対してアダマールゲートを作用させます。

\begin{equation} \ket{0000 \cdots 0} \xrightarrow{H(0)} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000 \cdots 0} + \ket{1000 \cdots 0} \rparen \end{equation}

次に、 $\ket{1000 \cdots 0}$ を $\ket{1100 \cdots 0}$ に変化させる必要があります。そこで、 $1$ 番目の量子ビットを制御ビットとし、 $2$ 番目の量子ビットを標的ビットとする制御 $X$ ゲートを利用します。制御 $X$ ゲートによって、 $1$ 番目の量子ビットが $\ket{1}$ となる $\ket{1000 \cdots 0}$ に対してのみ、 $2$ 番目の量子ビットに $X$ ゲートを作用させます。

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000 \cdots 0} + \ket{1000 \cdots 0} \rparen \xrightarrow{CX(0,1)} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000 \cdots 0} + \ket{1100 \cdots 0} \rparen \end{equation}

同様にして、 $\ket{1100 \cdots 0}$ を $\ket{1110 \cdots 0}$ に変化させるために、 $1$ 番目の量子ビットを制御ビットとし、 $3$ 番目の量子ビットを標的ビットとする制御 $X$ ゲートを作用させます。

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000 \cdots 0} + \ket{1100 \cdots 0} \rparen \xrightarrow{CX(0,2)} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000 \cdots 0} + \ket{1110 \cdots 0} \rparen \end{equation}

あとは、 $n$ 番目の量子ビットが標的ビットになるまで制御 $X$ ゲートを繰り返し作用させることで、量子状態 $\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{00 \cdots 00} + \ket{11 \cdots 11})$ を生成できます。

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000 \cdots 0} + \ket{1110 \cdots 0} \rparen \xrightarrow{CX(0,3)} \, \xrightarrow{CX(0,4)} \cdots \xrightarrow{CX(0,n-1)} \frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0...0} + \ket{1...1}) \end{equation}

最後に $Z$ ゲートを作用させることで $\ket{11 \cdots 11}$ の位相を反転させます。

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0...0} + \ket{1...1} \rparen \xrightarrow{Z(0)} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0...0} - \ket{1...1} \rparen \end{equation}

以上の操作をまとめると、以下のような量子回路が得られます。

解答例

解答例は以下の通りです。

from qiskit import QuantumCircuit
 
 
def solve(n: int) -> QuantumCircuit:
    qc = QuantumCircuit(n)
 
    qc.h(0)
 
    for i in range(1, n):
        qc.cx(0, i)
 
    qc.z(0)
 
    return qc

A3: Generate State 12(∣0⟩−∣2n−1⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}\lparen\ket{0}-\ket{2^{n}-1}\rparen2​1​(∣0⟩−∣2n−1⟩) I

解説

解答例

A3: Generate State $\frac{1}{\sqrt{2}}\lparen\ket{0}-\ket{2^{n}-1}\rparen$ I