A4: Generate State $\frac{1}{\sqrt{2}}\lparen\ket{0}-\ket{2^{n}-1}\rparen$ II

解説

問題 A3 の想定解法では量子回路の深さが $n+1$ となり、この問題を解くことができません。 では、どのような量子回路を設計すれば良いのでしょうか？

まず、量子回路の深さを小さくするためには、なるべく連続して同じ量子ビットに対して量子ゲートを作用させるのを避ける必要があります。

以下の $4$ 量子ビットの例をみてみましょう。

問題 A3 解説の量子回路との違いは、最も右側の制御 $X$ ゲートの制御ビットが $1$ 番目から $2$ 番目に変わっていることです。

このとき、最も右側の制御ゲートは $2$ 番目と $4$ 番目の量子ビットに対する操作であり、1つ左側の制御ゲートは $1$ 番目と $3$ 番目の量子ビットに対する操作であるため、この2つの操作は同時に行うことができ、量子回路の深さを1つ縮めることができます。

量子状態の遷移をみていきます。 2つ目の制御 $X$ ゲートを作用させるまでは、問題 A3 の想定解法と同じです。

次に、$2$ 番目の量子ビットを制御ビット、$4$ 番目の量子ビットを標的ビットとして制御 $X$ ゲートを作用させます。

最後に $Z$ ゲートを作用させることで $\ket{11 \cdots 11}$ の位相を反転させます。

この発想を一般の $n$ 量子ビットの量子回路に対して一般化すると、まず $1$ 番目にアダマールゲートを作用させ、$1$ 番目を制御ビット、$2$ 番目を標的ビットとして制御 $X$ ゲートを作用させます。その後、$i = 1, 2, \ldots$ に対して、標的ビットが $n$ 番目を超えない範囲で以下の操作を繰り返します。

• $1$ 番目の量子ビットを制御ビット、$2i + 1$ 番目の量子ビットを標的ビットとして制御 $X$ ゲートを作用させます。
• $2$ 番目の量子ビットを制御ビット、$2i + 2$ 番目の量子ビットを標的ビットとして制御 $X$ ゲートを作用させます。

例えば、$n = 7$ の場合は以下のような量子回路が構成できます。

以上の操作によって量子回路の深さは $\lfloor n/2 \rfloor + 3$ 以下になり、この問題を解くことができます。

解答例

解答例は以下の通りです。

from qiskit import QuantumCircuit
 
 
def solve(n: int) -> QuantumCircuit:
    qc = QuantumCircuit(n)
 
    qc.h(0)
    qc.cx(0, 1)
 
    for i in range(2, n - 1, 2):
        qc.cx(0, i)
        qc.cx(1, i + 1)
 
    if n % 2 != 0:
        qc.cx(0, n - 1)
 
    qc.z(0)
 
    return qc