QCoder

解説

一般の $n$ について、式変形をうまく行うことでこの問題を解くことができます。

$\ket{a}$ が $\ket{a_0} \ket{a_1} ... \ket{a_{n - 1}}$ $\left(a_i \in \lbrace 0, 1 \rbrace \right)$ と表せることを利用すると、以下の式変形が成り立ちます。

\begin{align} \mathrm{QFT}(k') &= \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{0 \leq a < 2^n} \omega^{a k'} \ket{a} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{0 \leq a < 2^n} \omega^{a (k + k_{const})} \ket{a} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{0 \leq a < 2^n} \omega^{(a_0 + 2 a_1 + ... + 2^{n - 1}) k_{const}} \omega^{ak} \ket{a_0} \ket{a_1} ... \ket{a_{n - 1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{0 \leq a < 2^n} \omega^{k_{const} a_0} \omega^{(2 k_{const}) a_1} ... \omega^{(2^{n - 1} k_{const}) a_{n - 1}} \omega^{a k} \ket{a_0} \ket{a_1} ... \ket{a_{n - 1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{0 \leq a < 2^n} \omega^{a k} \omega^{k_{const} a_0} \ket{a_0} \omega^{(2 k_{const}) a_1} \ket{a_1} ... \ \omega^{(2^{n - 1} k_{const}) a_{n - 1}} \ket{a_{n - 1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{0 \leq a < 2^n} \omega^{a k} P\left(\frac{2 \pi}{2^n} k_{const} \right) \ket{a_0} P\left(\frac{2 \pi}{2^n} 2k_{const} \right) \ket{a_1} ... \ P\left(\frac{2 \pi}{2^n} 2^{n - 1}k_{const} \right) \ket{a_{n - 1}} \\ &= P\left(\frac{2 \pi}{2^n} k_{const} \right) \otimes P\left(\frac{2 \pi}{2^n} 2k_{const} \right) \otimes ... \otimes P\left(\frac{2 \pi}{2^n} 2^{n - 1}k_{const} \right) \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{0 \leq a < 2^n} \omega^{a k} \ket{a} \\ &= P\left(\frac{2 \pi}{2^n} k_{const} \right) \otimes P\left(\frac{2 \pi}{2^n} 2k_{const} \right) \otimes ... \otimes P\left(\frac{2 \pi}{2^n} 2^{n - 1}k_{const} \right) \mathrm{QFT}(k) \end{align}

よって、 $i$ 番目の量子ビットに対して、回転角

\begin{equation} \theta_i = \frac{2 \pi}{2^n} \cdot 2^i \cdot k_{const} \end{equation}

を持つ位相シフトゲート $P(\theta_i)$ を作用させることで、目的の量子状態を得ることができます。

$n = 4$ の場合の量子回路は次のように表されます。

回路の深さは $1$ です。

解答例

解答例は以下の通りです。

import math
 
from qiskit import QuantumCircuit
 
 
def solve(n: int, k_const: int) -> QuantumCircuit:
    qc = QuantumCircuit(n)
 
    for i in range(n):
        theta = (2 * math.pi / 2 ** n) * (2 ** i) * k_const
        qc.p(theta, i)
 
    return qc

B1: Action in the Fourier Basis

解説

解答例