QCoder

問題文

$n$ を正の整数とする。非負整数 $m, k$ に対し、 $E(m, k)$ を次式で定義する。

\begin{align} E(m, k) = & \frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}} \sum_{0 \leq a < 2} \sum_{0 \leq b < 2} (-1)^{am + bk} \ket{a} \ket{b} \ket{0}_{n-1} \nonumber \\ & + \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{1 \leq c < 2^{n-1}} \left( X^m R^{ck} \otimes I_1 \otimes I_{n-1} \right) \left( \ket{0}\ket{0} + \ket{1}\ket{1} \right) \ket{c}_{n-1} \nonumber \end{align}

ここで、行列 $X$ は $X$ ゲート、 $R$ は回転ゲート $Rz\left( 2 \pi / 2^{n - 1} \right)$ を表す。

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad R = Rz\left( \frac{2 \pi}{2^{n - 1}} \right) = \begin{pmatrix} \exp \left( - \frac{2\pi i}{2^n} \right) & 0 \\ 0 & \exp \left( \frac{2\pi i}{2^n} \right) \end{pmatrix}

整数 $n$ , $m_{\text{left}}$ , $k_{\text{left}}$ が入力として与えられるので、次の条件を満たすオラクル $O$ を、 $n+1$ 量子ビットをもつ量子回路 $\mathrm{qc}$ 上に実装せよ。

$0 \leq m < 2$ と $0 \leq k < 2^{n}$ を満たす任意の整数の組 $(m,k)$ に対して

E(m, k) \xrightarrow{O} E(m', k')

ただし、 $0 \leq m' < 2$ と $0 \leq k' < 2^{n}$ は以下の式を満たす必要がある。

X^{m'} R^{k'} = X^{m_\text{left}} R^{k_\text{left}} X^{m} R^{k}

※ この問題はヒントの参照を推奨します。

制約

$2 \leq n \leq 10$
$0 \leq m_{\text{left}} < 2$
$0 \leq k_{\text{left}} < 2^n$
量子回路の深さは $30$ を超えてはならない。
整数はリトルエンディアンにしたがってエンコードすること
グローバル位相は問わない。
提出されるコードは次のフォーマットにしたがうこと

from qiskit import QuantumCircuit
 
 
def solve(n: int, m_left: int, k_left: int) -> QuantumCircuit:
    qc = QuantumCircuit(n + 1)
    # Write your code here:
 
    return qc

ヒント

開く

$m'$ と $k'$ が必ず存在することは以下により分かります。
まず、 $X$ と $R$ について次が成り立ちます。 $X^2 = R^{2^n} = I, \quad RX = XR^{-1}$ このことから $\begin{align} X^{m'} R^{k'} & = X^{m_\text{left}} R^{k_\text{left}} X^{m} R^{k} \nonumber \\ & = X^{m_\text{left}} \left( R^{k_\text{left}} X^{m} \right) R^{k} \nonumber \\ & = X^{m_\text{left}} \left( X^{m} R^{(-1)^m k_{\text{left}}} \right) R^{k} \nonumber \\ & = X^{m_\text{left} + m} R^{(-1)^m k_{\text{left}} + k} \nonumber \end{align}$ となるので、 $\begin{gather} m' = m_{\text{left}} + m \ \left(\text{mod} \ 2 \right) \nonumber \\ k' = (-1)^{m} k_{\text{left}} + k \ \left(\text{mod} \ 2^{n} \right) \nonumber \end{gather}$ となります。

B2: Left Action in Another Fourier Basis

問題文

制約

ヒント